۱- ریشه‌های دوم عددهای زیر را بیابید:
۱۸, ۱۲, ۱۴۴, ۱۵, $ \frac{۱}{۸۱} $, $ \frac{۴۹}{۱۶} $
پاسخ تشریحی:
هر عدد حقیقی **مثبت**، دارای **دو ریشه‌ی دوم (جذر)** است که قرینه‌ی یکدیگر هستند. ریشه‌ی دوم صفر، خود صفر است و اعداد منفی ریشه‌ی دوم در مجموعه‌ی اعداد حقیقی ندارند.
* **ریشه‌های دوم ۱۸:**
$ \pm\sqrt{۱۸} = \pm\sqrt{۹ \times ۲} = \pm۳\sqrt{۲} $
* **ریشه‌های دوم ۱۲:**
$ \pm\sqrt{۱۲} = \pm\sqrt{۴ \times ۳} = \pm۲\sqrt{۳} $
* **ریشه‌های دوم ۱۴۴:**
$ \pm\sqrt{۱۴۴} = \pm۱۲ $
* **ریشه‌های دوم ۱۵:**
$ \pm\sqrt{۱۵} $ (ساده‌تر نمی‌شود)
* **ریشه‌های دوم $ \frac{۱}{۸۱} $:**
$ \pm\sqrt{\frac{۱}{۸۱}} = \pm\frac{\sqrt{۱}}{\sqrt{۸۱}} = \pm\frac{۱}{۹} $
* **ریشه‌های دوم $ \frac{۴۹}{۱۶} $:**
$ \pm\sqrt{\frac{۴۹}{۱۶}} = \pm\frac{\sqrt{۴۹}}{\sqrt{۱۶}} = \pm\frac{۷}{۴} $
۲- ریشه‌ی سوم عددهای زیر را به دست آورید:
۲۱۶, $۷^۳$, -۵, $ -\frac{۱}{۲۱۶} $, ۱۰
پاسخ تشریحی:
هر عدد حقیقی (مثبت، منفی یا صفر) **دقیقاً یک ریشه‌ی سوم** دارد. ریشه‌ی سوم عدد مثبت، مثبت است و ریشه‌ی سوم عدد منفی، منفی است.
* **ریشه‌ی سوم ۲۱۶:**
$ \sqrt[۳]{۲۱۶} = ۶ $ (چون $۶^۳=۲۱۶$)
* **ریشه‌ی سوم $۷^۳$:**
$ \sqrt[۳]{۷^۳} = ۷ $ (ریشه سوم و توان سوم اثر هم را خنثی می‌کنند)
* **ریشه‌ی سوم -۵:**
$ \sqrt[۳]{-۵} $ (یک عدد گنگ است و ساده‌تر نمی‌شود)
* **ریشه‌ی سوم $ -\frac{۱}{۲۱۶} $:**
$ \sqrt[۳]{-\frac{۱}{۲۱۶}} = -\frac{\sqrt[۳]{۱}}{\sqrt[۳]{۲۱۶}} = -\frac{۱}{۶} $
* **ریشه‌ی سوم ۱۰:**
$ \sqrt[۳]{۱۰} $ (یک عدد گنگ است و ساده‌تر نمی‌شود)
۳- کدام یک درست و کدام یک نادرست است؟
پاسخ تشریحی:
* **$ \sqrt{(-۱)^۲} = -۱ $ (نادرست)**
* **صحیح:** $ \sqrt{(-۱)^۲} = \sqrt{۱} = ۱ $. طبق قانون $ \sqrt{x^۲} = |x| $.
* **$ -\sqrt{\frac{۴۹}{۲۵۶}} = -\frac{۷}{۱۶} $ (درست)**
* $ \sqrt{\frac{۴۹}{۲۵۶}} = \frac{۷}{۱۶} $، پس کل عبارت برابر با $ -\frac{۷}{۱۶} $ است.
* **$ \sqrt[۳]{(-۱)^۳} = -۱ $ (درست)**
* $ \sqrt[۳]{-۱} = -۱ $. قانون $ \sqrt[۳]{x^۳} = x $ همیشه برقرار است.
* **$ \sqrt{۱/۴۴} = ۱/۲ $ (درست)**
* چون $ (۱.۲)^۲ = ۱.۴۴ $ است.
* **$ \sqrt{(-۵)^۲} = |-۵| = ۵ $ (درست)**
* این عبارت قانون $ \sqrt{x^۲} = |x| $ را به درستی نشان می‌دهد.
* **$ (\sqrt{-۱})^۲ = ۱ $ (نادرست)**
* $ \sqrt{-۱} $ در مجموعه‌ی اعداد حقیقی تعریف نشده است.
* **$ \sqrt[۳]{(-۵)^۳} = -۵ $ (درست)**
* چون $ \sqrt[۳]{x^۳} = x $ همیشه برقرار است.
* **$ \sqrt[۳]{-۶۴} = -۴ $ (درست)**
* چون $ (-۴)^۳ = -۶۴ $ است.
۴- حاصل هر عبارت را به عدد مساوی آن در سطر دوم، وصل کنید:
پاسخ تشریحی:
برای هر عبارت، حاصل را محاسبه می‌کنیم تا عدد متناظر آن را پیدا کنیم.
* **$ \sqrt[۳]{-۲۵} \times \sqrt[۳]{۵} $**
$ \sqrt[۳]{-۲۵ \times ۵} = \sqrt[۳]{-۱۲۵} = -۵ $
**وصل می‌شود به: -۵**
* **$ \sqrt{\frac{۸۱}{۳}} $**
(به نظر می‌رسد در این سوال اشتباه تایپی وجود دارد و منظور $ \sqrt[۳]{\frac{۸۱}{۳}} $ بوده است)
$ \sqrt[۳]{\frac{۸۱}{۳}} = \sqrt[۳]{۲۷} = ۳ $
**وصل می‌شود به: ۳**
* **$ \sqrt[۳]{-۱} \times \sqrt{۸۱} $**
$ (-۱) \times ۹ = -۹ $
**وصل می‌شود به: -۹**
* **$ \sqrt[۳]{۱۲۵} \times \sqrt{۳۶} $**
$ ۵ \times ۶ = ۳۰ $
**وصل می‌شود به: ۳۰**
۵- حداقل سه عدد صحیح مختلف مثال بزنید که اگر به جای a قرار دهیم، نامساوی زیر درست باشد:
$ \sqrt[3]{a} < \sqrt{۴} $
پاسخ تشریحی:
ابتدا نامساوی را ساده می‌کنیم تا شرط روی $a$ را پیدا کنیم.
۱. **ساده‌سازی طرف راست:**
$ \sqrt{۴} = ۲ $
پس نامساوی به صورت $ \sqrt[۳]{a} < ۲ $ است.
۲. **حذف ریشه سوم:**
برای حذف ریشه سوم، هر دو طرف نامساوی را به توان ۳ می‌رسانیم:
$ (\sqrt[۳]{a})^۳ < ۲^۳ $
$ a < ۸ $
**نتیجه:**
نامساوی برای تمام اعداد صحیح که **کوچکتر از ۸** باشند، برقرار است. ما باید سه مثال مختلف بزنیم.
**مثال‌ها:**
* $ a = ۷ $ ($ \sqrt[۳]{۷} < ۲ $)
* $ a = ۱ $ ($ \sqrt[۳]{۱} = ۱ < ۲ $)
* $ a = -۱۰ $ ($ \sqrt[۳]{-۱۰} $ عددی منفی است و قطعاً از ۲ کوچکتر است.)
۶- رابطه‌ی $ \sqrt{(-x)^۲} = x $ به چه شرطی درست است؟ مثال بزنید.
پاسخ تشریحی:
برای پیدا کردن شرط، از قاعده‌ی اصلی $ \sqrt{a^۲} = |a| $ استفاده می‌کنیم.
۱. **ساده‌سازی عبارت:**
$ \sqrt{(-x)^۲} = |-x| $
می‌دانیم که قدرمطلق یک عدد با قدرمطلق قرینه‌اش برابر است، یعنی $ |-x| = |x| $.
پس $ \sqrt{(-x)^۲} = |x| $.
۲. **پیدا کردن شرط:**
رابطه‌ی داده شده $ \sqrt{(-x)^۲} = x $ است. با توجه به ساده‌سازی ما، این رابطه به صورت $ |x| = x $ در می‌آید.
تساوی $ |x| = x $ تنها زمانی برقرار است که $x$ یک عدد **نامنفی** باشد.
**شرط:** $ x \geq ۰ $
**مثال:**
* **حالت درست ($x \geq 0$):** فرض کنید $x=۵$.
$ \sqrt{(-۵)^۲} = \sqrt{۲۵} = ۵ $. چون $x=۵$، پس تساوی $۵=۵$ برقرار است.
* **حالت نادرست ($x < 0$):** فرض کنید $x=-۳$.
$ \sqrt{(-(-۳))^۲} = \sqrt{(۳)^۲} = ۳ $. اما $x=-۳$. چون $۳ \neq -۳$ تساوی برقرار نیست.
۷- اگر مساحت کل یک مکعب $۹۶a^۲$ باشد، حجم آن را بر حسب a به دست آورید.
پاسخ تشریحی:
برای حل این مسئله، ابتدا با استفاده از مساحت کل، طول ضلع مکعب را پیدا کرده و سپس با آن حجم را محاسبه می‌کنیم.
**مرحله ۱: پیدا کردن طول ضلع مکعب (s)**
* **فرمول مساحت کل مکعب:** یک مکعب ۶ وجه مربع شکل دارد. اگر طول ضلع $s$ باشد، مساحت کل برابر است با $ A = ۶s^۲ $.
* **تشکیل معادله:** ما می‌دانیم که $ A = ۹۶a^۲ $. پس:
$ ۶s^۲ = ۹۶a^۲ $
* **حل برای s:**
$ s^۲ = \frac{۹۶a^۲}{۶} = ۱۶a^۲ $
$ s = \sqrt{۱۶a^۲} = ۴|a| $
(چون طول ضلع نمی‌تواند منفی باشد، $s = ۴|a|$)
**مرحله ۲: محاسبه‌ی حجم مکعب (V)**
* **فرمول حجم مکعب:** $ V = s^۳ $
* **جایگذاری s:**
$ V = (۴|a|)^۳ = ۴^۳ |a|^۳ = ۶۴|a|^۳ $
(اگر فرض کنیم $a$ مثبت است، پاسخ $۶۴a^۳$ خواهد بود).
**حجم مکعب بر حسب a برابر با $۶۴|a|^۳$ است.**
۸- اگر $x>۰$ و $y<۰$ باشد، حاصل $\sqrt{x^۲} - \sqrt{y^۲}$ را ساده کنید و بدون قدرمطلق بنویسید.
پاسخ تشریحی:
برای ساده کردن این عبارت، از قاعده‌ی $ \sqrt{a^۲} = |a| $ و سپس از اطلاعات داده شده در مورد علامت $x$ و $y$ استفاده می‌کنیم.
**مرحله ۱: استفاده از قاعده‌ی $ \sqrt{a^۲} = |a| $**
$ \sqrt{x^۲} - \sqrt{y^۲} = |x| - |y| $
**مرحله ۲: حذف قدرمطلق با توجه به فرض‌ها**
* **برای |x|:** چون $x>۰$ (مثبت) است، پس $ |x| = x $.
* **برای |y|:** چون $y<۰$ (منفی) است، پس $ |y| = -y $ (قرینه‌ی y که مقداری مثبت است).
**مرحله ۳: جایگذاری و ساده‌سازی نهایی**
عبارت را با مقادیر به دست آمده بازنویسی می‌کنیم:
$ |x| - |y| = (x) - (-y) = x + y $
**حاصل نهایی عبارت برابر با $x+y$ است.**
۹- عبارت‌های زیر را مانند نمونه ساده کنید: $ \sqrt{۱۵۰} $, $ \sqrt{۸۰} $, $ \sqrt{۲۴} $, $ \sqrt[3]{۱۲۵^۲} $
پاسخ تشریحی:
برای ساده کردن رادیکال‌ها، عدد زیر رادیکال را به حاصل‌ضرب دو عدد تجزیه می‌کنیم، به طوری که یکی از آنها بزرگترین مربع کامل (یا مکعب کامل) ممکن باشد.
* **$ \sqrt{۱۵۰} $**
$ \sqrt{۱۵۰} = \sqrt{۲۵ \times ۶} = \sqrt{۲۵} \times \sqrt{۶} = ۵\sqrt{۶} $
* **$ \sqrt{۸۰} $**
$ \sqrt{۸۰} = \sqrt{۱۶ \times ۵} = \sqrt{۱۶} \times \sqrt{۵} = ۴\sqrt{۵} $
* **$ \sqrt{۲۴} $**
$ \sqrt{۲۴} = \sqrt{۴ \times ۶} = \sqrt{۴} \times \sqrt{۶} = ۲\sqrt{۶} $
* **$ \sqrt[3]{۱۲۵^۲} $**
با استفاده از قاعده‌ی $ \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m $ می‌توانیم ابتدا ریشه را حساب کنیم:
$ \sqrt[۳]{۱۲۵^۲} = (\sqrt[۳]{۱۲۵})^۲ = (۵)^۲ = ۲۵ $
۱۱- حاصل را به دست آورید:
پاسخ تشریحی:
برای حل این عبارات، از قوانین ضرب و تقسیم رادیکال‌ها با فرجه‌ی یکسان استفاده می‌کنیم.
* **$ \frac{\sqrt[۳]{۱۸} \times \sqrt[۳]{۶۰}}{\sqrt[۳]{۵}} $**
تمام عبارت را زیر یک رادیکال می‌نویسیم:
$ \sqrt[۳]{\frac{۱۸ \times ۶۰}{۵}} = \sqrt[۳]{۱۸ \times ۱۲} = \sqrt[۳]{۲۱۶} $
چون $۶^۳ = ۲۱۶$ است، پس:
$ \sqrt[۳]{۲۱۶} = ۶ $
* **$ \frac{\sqrt{۸} \times \sqrt{۵}}{\sqrt{۱۰}} $**
تمام عبارت را زیر یک رادیکال می‌نویسیم:
$ \sqrt{\frac{۸ \times ۵}{۱۰}} = \sqrt{\frac{۴۰}{۱۰}} = \sqrt{۴} = ۲ $
* **$ ۲\sqrt[۳]{۱۶} \times ۳\sqrt[۳]{۴} $**
ضرایب را در هم و رادیکال‌ها را در هم ضرب می‌کنیم:
$ (۲ \times ۳) \times (\sqrt[۳]{۱۶} \times \sqrt[۳]{۴}) = ۶ \times \sqrt[۳]{۱۶ \times ۴} = ۶ \times \sqrt[۳]{۶۴} $
چون $۴^۳=۶۴$ است، پس:
$ ۶ \times ۴ = ۲۴ $
